\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\author{王立庆}
\title{概率论教案}
\date{2018 年 8 月 27 日}

\begin{document}

\maketitle

\section*{课程基本信息}

\begin{itemize}
\item 使用教材：茆诗松、程依明、濮晓龙，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2011年2月第二版。
\item 参考文献：Morris H.DeGroot, Mark J.Schervish, Probability and Statistics, Fourth Edition, 机械工业出版社，2012年7月影印版。
\item 使用班级：2017级数学与应用数学专业，专业必修课。4学分。
\item 教学方法：课堂讲解，理论与例题结合。
\item 课时安排：正课40课时，习题14课时，测验6课时。共60课时。
\item 上课时间：周三1-2节五教109, 周五1-2节五教123. 收作业：每周三上午。
\item 答疑时间地点：周三上午3-4节。一教206. 邮箱：liqingwang@lixin.edu.cn.
\end{itemize}

\section*{教学计划}
\begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}{|M{1.5cm}|M{6cm}|M{3cm}|}  \hline 
周 & 章节 & 内容 \\[5pt]  \hline 
1,2,3 & 第一章：随机事件与概率 & 第1-5讲 \\[5pt]  \hline 
4 &  &测验一\\[5pt]  \hline 
5,6,7 & 第二章：随机变量及其分布 & 第6-11讲 \\[5pt]  \hline 
8 & & 测验二\\ [5pt] \hline 
9,10,11 & 第三章：多维随机变量及其分布 & 第12-16讲 \\ [5pt] \hline 
12 & & 测验三\\ [5pt] \hline 
13,14,15 & 第四章：大数定律与中心极限定理 & 第17-20讲 \\ [5pt] \hline 
 %15& & 复习\\ [5pt] \hline 
 16& & 期末考试\\ [5pt] \hline 
\end{tabular}
\end{table}


\newpage
\setcounter{tocdepth}{1}
\renewcommand\contentsname{目录}
\tableofcontents

\begin{comment}
\section*{教案目录}
\begin{enumerate}
\item 第一讲：(1.1) 随机事件及其运算
\item 第二讲：(1.2) 概率的定义及其确定方法 
\item 第三讲：(1.3) 概率的性质 
\item 第四讲：(1.4) 条件概率 
\item 第五讲：(1.5) 独立性 
\item 第六讲：() 
\item 第七讲：() 
\item 第八讲：() 
\item 第九讲：() 
\item 第十讲：() 
\item 第十一讲：() 
\item 第十二讲：() 
\item 第十三讲：() 
\item 第十四讲：() 
\item 第十五讲：() 
\item 第十六讲：() 
\item 第十七讲：() 
\item 第十八讲：() 
\item 第十九讲：() 
\item 第二十讲：() 
\end{enumerate}
\end{comment}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第一讲：(1.1) 随机事件及其运算}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 样本空间和随机事件的概念和例子，随机变量的概念和例子
\item 事件域的概念，博雷尔域
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 什么是{\color{red}样本空间}？求下述随机试验的样本空间：
1.抛一枚硬币。
2.掷一颗骰子。
3.商场某天的顾客数。
4.某电视机的寿命。
5.测量的误差。

\item 什么是{\color{red}随机事件}？投掷一颗骰子，写出下述事件所代表的集合：
1.出现1点。
2.出现偶数点。
3.出现点数大于零。
4.出现点数大于10.

\item 什么是{\color{red}随机变量}？设$X=$‘投掷一颗骰子出现的点数’，解释下述表达式的具体含义：
1.$X=3$.
2.$X>3$.
3.$X\le 6$.
4.$X=10$.

\item 事件之间可能有哪些关系？写出下述表达式的含义：
1.$A\subset B$.
2.$A=B$.
3.$A\cup B$.
4.$A\cap B$.
5.$AB$.
6.$A-B$.
7.$\bar{A}$.
8.$A\bigtriangleup B$.
9.$\varnothing$.
10.$\Omega$.

\item 设$A,B,C$是某随机现象的三个事件。将下述事件写成$A,B,C$的表达式：\\
1.事件D=‘A与B发生但C不发生’。\\
2.事件E=‘A，B，C中至少有一个发生’。\\
3.事件F=‘A，B，C中恰好有一个发生’。\\
4.事件G=‘A，B，C全不发生’。\\
5.事件H=‘A，B，C不全发生’。

\item 设 $\Omega$ 是样本空间，设 $\cal{F}$ 为 $\Omega$ 的一些子集（即事件）组成的集合。什么样的事件组成的集合 $\cal{F}$ 称为{\color{red}事件域}？
设 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$，写出所有可能的事件域。

\item 一般集合的子集集合什么时候称为 $\sigma$ 域？
什么是{\color{red}博雷尔域}？证明开区间和闭区间都是博雷尔集。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
 (1.1) 1, 5, 7, 10, 11.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第二讲：(1.2) 概率的定义及其确定方法}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概率的公理化定义，确定概率的三种方法
\item 几个计算的例子：古典概型，几何概型
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设$\Omega$是一个样本空间，设$\mathcal{F}$是$\Omega$上的一个事件域，符合哪些条件的函数$\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$称为一个{\color{red}概率}？

\item 确定概率的方法有哪些？举例说明。

\item 投掷两枚硬币，求出现一正一反的概率。

\item 一批产品共 $N$ 件， 其中 $M$ 件是不合格的， $N-M$ 件是合格的。 随机取出 $n$ 件， 求其中有 $m$ 件不合格的概率。

\item 甲乙两人约定在下午6-7点之间在某处见面。先到者等候20分钟。求两人能会面的概率。

\item 平面上画有间隔为$d$的等距平行线，向平面任意投掷长度为$\ell$的针，求针与平行线相交的概率。

\item 在长度为 $\ell$ 的线段内任取两点，将其分成三段。求它们可以构成一个三角形的概率。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(1.2) 1(1,2,3), 3, 5, 10, 14, 23, 28, 29.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第三讲：(1.3) 概率的性质 }
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 概率的基本性质，计算概率的例子
\item 概率的上连续性质
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 从概率的公理化定义出发，证明：
\begin{enumerate}
\item 空集的概率是0.
\item 若有限个事件互不相容，则其和事件的概率等于其每个事件的概率的和。
\item 补事件的概率等于1减去该事件的概率。
\item 子事件的概率总是比较小。
\item 加法公式。
\end{enumerate}

\item 36只灯泡中有4只是60瓦的，其余是40瓦的。现任取3只，求至少取到1只60瓦的概率。

\item 口袋中有编号为 $1,2,\cdots,n$ 的 $n$ 个球。从中有放回地任取 $m$ 次，求取出的个球的最大号码为 $k$ 的概率。

\item 已知事件 $A,B,A\cup B$ 的概率分别为 $0.4$, $0.3$, $0.6$， 求概率 $\mathbb{P}(A\bar{B})$.

\item 在一个有$n$个人参加的晚会上，每个人带了一件各不相同的礼物。晚会期间每人从放在一起的礼物中任取一件，求至少有一人取到自己的礼物的概率。

\item 设$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$是一个概率空间，设有事件序列 
$F_1\subset F_2\subset\cdots\subset F_k\subset\cdots$,
设$F=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k$，证明$\mathbb{P}(F)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}(F_n)$.

%\item 

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(1.3) 1, 2, 4, 6, 10, 13, 17, 21.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第四讲：(1.4) 条件概率}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 条件概率的定义和例子
\item 全概率公式和贝叶斯公式，计算的例子
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 一个家里有两个小孩。\\
%\begin{enumerate}
%\item 
(1) 求家里至少有一个女孩的概率。\\
%\item 
(2) 如果已知家里至少有一个男孩，求家里至少有一个女孩的概率。
%\end{enumerate}

\item 写出在事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的{\color{red}条件概率} $\mathbb{P}(A|B)$ 的定义。

\item 一批零件共100个，其中10个是次品。从中一个一个取出，求第三个才取到次品的概率。

\item 设罐中有$b$个黑球，$r$个红球。每次随机取出一球然后又放回，还加进$c$个同色球和$d$个异色球。记$B_i$为‘第$i$次取出的是黑球’，$R_j$为‘第$j$次取出的是红球’。
计算概率$\mathbb{P}(B_1R_2R_3)$.

\item 用全概率公式计算：在$n$张彩票中有一张是奖券，求第二人摸到奖券的概率。

\item 用全概率公式计算：易出事故者1年内发生事故的概率为0.4, 占比例20\%; 不易出事故者1年内发生事故的概率为0.1, 占比例80\%. 某人来投保，求其一年内出事故的概率。

\item 某病发病率为0.0004，已知有病者化验结果正确率99\%, 无病者化验结果正确率99.9\%. 现某人化验结果认为有病，求其真的有病的概率。



\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(1.4) 3, 5, 7, 8, 10, 15, 19, 23, 27, 33.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第五讲：(1.5) 独立性}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 两个或多个事件相互独立的概念
\item 事件独立的计算的例子
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 称事件 $A$ 与事件 $B$ {\color{red}独立}，是指什么？\\
称三个事件 $A,B,C$ 相互独立，又是指什么？

\item 从一副52张扑克牌中任取1张。记事件 $A$ =‘取到黑桃’, $B$ =‘取到J’. 
判断事件$A, B$是否独立。

\item 已知家里有3个小孩。记事件 $A$ =‘男孩女孩都有’，$B$ =‘至多一个女孩’。判断事件 $A, B$ 是否独立。

\item 证明：若事件 $A, B, C$ 相互独立，则 $A-B$ 与 $C$ 独立。$AB$ 也与 $C$ 独立。

\item 两射手独立地向同一目标射击。击中的概率分别为0.8和0.9. 求至少一人击中目标的概率。

\item 某零件用第一种工艺加工，三道工序出错概率分别是0.3,0.2,0.1; 用第二种工艺加工，二道工序出错概率分别是0.3,0.2. 求哪种工艺比较可靠?

\item 两名选手轮流对同一目标射击。甲命中概率为$\alpha$, 乙命中概率为$\beta$. 设甲先射击。求甲先命中的概率。

\item 设每个元件正常工作的概率为0.9. 分别求串联、并联、桥式系统正常工作的概率。

\item 两个试验称为是独立的，是指什么？

\item 设彩票每次中奖概率为10万分之一。设每次开奖都是独立的。求520次都未中奖的概率。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(1.5) 1, 3, 7, 10, 13, 18, 22, 24.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第六讲：(2.1) 随机变量及其分布}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 随机变量的分布函数
\item 离散型与连续型随机变量，概率密度函数与分布列
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 怎么理解{\color{red}随机变量}这个概念？检查三个产品，考察其中次品的数目，如何描述这个随机变量？

\item 什么是{\color{red}随机变量的分布函数}？向半径为r的圆内随机抛一点。 记$X$ =该点到圆心的距离。(a) 求$X$的分布函数$F(x)$. (b) 求概率$\mathbb{P}(X > 2r/3)$.

\item 证明{\color{red}分布函数}的基本性质：(a)单调递增，(b)从0增加到1，(c)右连续。

\item 掷两颗骰子，求随机变量的{\color{red}分布列(律)}。
\begin{enumerate}
\item $X$ =‘两个点数之和’，
\item $Y$ =‘出现6的次数’，
\item $Z$ =‘两个点数中较大者’。
\end{enumerate}

\item 已知随机变量 $X$ 的分布列
%\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{|r|c|c|c|}\hline
$X$ & $-1$ & $2$ & $3$ \\ \hline
概率  & $0.25$ & $0.5$ & $0.25$ \\ \hline
\end{tabular}

%\end{table}
\begin{enumerate}
\item 求概率$\mathbb{P}(X\le 0.5)$ 和 $\mathbb{P}(1.5<X\le 2.5)$.
\item 求分布函数$F(x)$.
\end{enumerate}

\item 一车沿街行驶，依次经过三个红绿灯。记 $X$=‘首次遇到红灯前已经通过的路口数目’，求 $X$ 的分布列。设红绿灯的时间间隔相同。

\item 连续随机变量与离散随机变量的区别有哪些？解释概率密度函数的形成过程、不同形状。

\item 什么是{\color{red}概率密度函数}？证明其基本性质。

\item 向区间 $(0,a)$ 上任意投点，用 $X$ 表示这个点的坐标。设这个点落在 $(0,a)$ 中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关。 求 $X$ 的分布函数和密度函数。

\item 设某种型号的电子元件的寿命 $X$ 有以下概率密度函数：
\begin{eqnarray*}
p(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1000/x^2, & x>1000 \\
0, & x\le 1000.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
现有一大批这种元件，其工作相互独立，求：\\
(1) 任取1只其寿命大于1500小时的概率。\\
(2) 任取4只其寿命都大于1500小时的概率。\\
(3) 任取4只至少1只其寿命大于1500小时的概率。\\
(4) 若已知某元件寿命大于1500小时, 问其寿命大于 2000 小时的概率。

\begin{comment}
\item 设某随机变量有下述分布函数，解释该随机变量既不是离散型的也不是连续型的：
\begin{eqnarray*} 
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0, \\
(1+x)/2, & 0\le x< 1,\\
1, & x\ge 1.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\end{comment}


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(2.1) 1, 5, 8, 9, 10, 12, 16, 17.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第七讲：(2.2) 随机变量的数学期望}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 随机变量的数学期望的概念
\item 数学期望的性质与计算，应用举例
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 甲乙各出50元。设先赢三局者胜。现甲赢两局乙赢一局。求如何分赌本。

\item 什么是{\color{red}数学期望}？离散型和连续型随机变量的数学期望是怎么计算的？

\item 同时抛五颗骰子，求出现6的个数的数学期望。

\item (1) 求均匀分布的随机变量的数学期望。(2) 求柯西分布的随机变量的数学期望。

\item 已知随机变量 $X$ 的分布列，求随机变量 $X^2$ 的分布列，和 $X^2$ 的数学期望。
\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{c|ccccc}
$X$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
概率 & 0.2 & 0.1 & 0.1 & 0.3 & 0.3 \\
\end{tabular}
\end{table}

\item 证明随机变量的数学期望有下述性质：
\begin{enumerate}
\item {\color{red}随机变量的函数}的数学期望计算公式。
\item 常数的数学期望。
\item 求数学期望保持加法和数乘。
\end{enumerate}

\item 设原料的市场需求是一个服从 (300,500) 上均匀分布的随机变量。 设每售出1吨可获利1.5千元， 每积压1吨要损失0.5千元。 问进货多少可以使平均收益最大？

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(2.2) 1, 4, 10, 12, 15, 18, 19.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第八讲：(2.3) 随机变量的方差与标准差}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 随机变量的方差与标准差的概念
\item 方差的性质与计算，切比雪夫不等式
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 随机变量的{\color{red}方差和标准差}是用来描述什么的？写出它们的计算公式。%（分离散型和连续型随机变量）

\item 考虑随机变量 $X,Y$，其密度函数分别如下，比较其期望与方差。
\begin{eqnarray*}
p_X(x) = \left\{\begin{array}{ll} 
1+x,& -1\le x<0\\
1-x,& 0\le x<1\\
0, & \text{其它} x.
\end{array}\right.\hspace{0.5cm}
p_Y(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1/2, & -1<x<1\\
0, & \text{其它} x.
\end{array}\right.
%p_Z(x) &=& \left\{\begin{array}{ll} 
%-x,& -1\le x<0\\
%x,& 0\le x<1\\
%0, & \text{其它} x.
%\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 分别定义如下。
$X$= ‘投资房地产的收益’，
$Y$= ‘投资商业的收益’，
已知它们的分布列如下表，比较其期望与方差。
\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{c|ccc||c|ccc}
$X$ & 11 & 3 & $-3$ & $Y$ & 6 & 4 & $-1$\\
\hline
概率 & 0.2 & 0.7 & 0.1 &概率 & 0.2 & 0.7 & 0.1
\end{tabular}
\end{table}

\item 证明方差的性质：
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{V}ar(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$.
\item $\mathbb{V}ar(C)=0$.
\item $\mathbb{V}ar(aX+b)=a^2 \mathbb{V}ar(X)$.
\end{enumerate}

\item 投掷一颗骰子。设 $X$ 为出现的点数。求 $X$ 的期望和方差。

\item 证明{\color{red}切比雪夫不等式}：设随机变量 $X$ 的数学期望和方差都存在，则对任意正数 $\varepsilon$, 有
\[ \mathbb{P}\Big{(}|X-\mathbb{E}(X)|\ge \varepsilon \Big{)} \le \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}. \]



\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(2.3) 1, 3, 6, 8, 10, 12.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第九讲：(2.4) 常用离散分布}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 0-1分布、二项分布和泊松分布的定义和例子
\item 泊松定理的证明和应用
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设$X$ = $n$重{\color{red}伯努利试验}中事件 $A$ 发生的次数，设$P(A)=p$. 写出 $X$ 的分布列。称随机变量 $X$ 服从{\color{red}二项分布}。记作 $X\sim b(n,p)$.

\item 某特效药的有效率为0.8, 今有10人服用，求至少有8人治愈的概率。

\item 设随机变量 $X\sim b(2,p)$, $Y\sim b(3,p)$, 若 $P(X\ge 1)=5/9$, 求 $\mathbb{P}(Y\ge 1)$.

\item 设随机变量 $X$ 服从{\color{red}二项分布} $b(n,p)$, 求 $X$ 的数学期望和方差。

\item 甲乙两人有10局比赛，赢多为胜。设每局甲赢概率为0.6, 乙赢概率为0.4. 设各局比赛相互独立。求最后甲胜、乙胜、甲乙不分胜负的概率。

\item 写出0-1分布 $X\sim b(1,p)$的分布列。

\item 写出{\color{red}泊松分布} $X\sim P(\lambda)$的分布列，举出一些符合泊松分布的随机变量$X$的例子。

\item 证明：若$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，则其期望与方差分别为
$\mathbb{E}(X) = \lambda$ 和 $\mathbb{V}ar(X) = \lambda$. 

\item 某商品的月销售量服从参数为8的泊松分布。问每月进货多少，可以以90\%的概率不会售完。

\item 证明泊松定理：如果 $n$ 较大而 $p$ 较小，则
\begin{eqnarray*}
\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx \frac{(np)^k}{k!}e^{-np}.
\end{eqnarray*}

\item 已知某疾病发生的概率为 0.001,  某单位共 5000 人。 求该病发生人数不超过5人的概率。

\item 每台设备发生故障的概率是0.01. 各设备相互独立。 求下述情形下发生故障而不能及时维修的概率：
%\begin{enumerate}
%\item 
(1) 1名维修工负责20台设备。
%\item 
(2) 3名维修工负责90台设备。
%\item 
(3) 10名维修工负责500台设备。
%\end{enumerate}
%\vspace{-0.3cm}


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(2.4) 1, 4, 7, 9, 13, 15.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第十讲：(2.5) 常用连续分布}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 正态分布、均匀分布和指数分布的定义和例子
\item 正态分布、均匀分布和指数分布的计算
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 写出{\color{red}正态分布}的密度函数。写出{\color{red}标准正态分布}的密度函数。

\item 设 $U\sim N(0,1)$, 查表计算下述概率：
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{P}(U<1.52)$ 和 $\mathbb{P}(U>1.52)$ 和 $\mathbb{P}(U<-1.52)$.
\item $\mathbb{P}(-0.75\le U\le 1.52)$ 和 $\mathbb{P}(|U|\le 1.52)$.
\end{enumerate}

\item 证明正态分布的期望和方差正好是分布的两个参数：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 则
$\mathbb{E}(X)=\mu$ 和 $\mathbb{V}ar(X)=\sigma^2$.

\item 证明正态分布的标准化定理：
若 $X\sim N(\mu,\sigma)$, 设$U=\frac{X-\mu}{\sigma}$, 则 $U\sim N(0,1)$.

\item 设 $X\sim N(108,3^2)$, 求：\\
(1) 概率 $\mathbb{P}(102<X<117)$.\\
(2) 使得 $\mathbb{P}(X<a)=0.95$ 的常数 $a$.

\item 设 $X\sim N(\mu,\sigma)$, 求下述概率：
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{P}(|X-\mu|\le \sigma)$.
\item $\mathbb{P}(|X-\mu|\le 2\sigma)$.
\item $\mathbb{P}(|X-\mu|\le 3\sigma)$.
\end{enumerate}

\item 什么是服从{\color{red}均匀分布}的随机变量？画出其密度函数的图象。

\item 设随机变量 $X$ 服从 $(0,10)$ 上的均匀分布，现对 $X$ 进行 4 次独立观察，求至少有 3 次观察值大于 6 的概率。

\item 设随机变量 $X$ 服从区间 $(a,b)$ 上的均匀分布， 求 $X$ 的数学期望和方差。

\item 什么是服从{\color{red}指数分布}的随机变量？画出其密度函数的图象。

\item 证明：若某设备在任何时段 $[0,t]$ 的发生故障的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布，则相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从均值为 $1/\lambda$ 的指数分布。

\item 计算服从指数分布的随机变量的期望和方差：
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则有\\
$\mathbb{E}(X)=1/\lambda$ 和 $\mathbb{V}ar(X)=1/\lambda^2$.

\item 证明服从指数分布的随机变量没有记忆：
$\mathbb{P}(X>s+t \mid X>s)=\mathbb{P}(X>t).$

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(2.5) 1, 3, 4, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 29.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第十一讲：(2.6) 随机变量的函数的分布}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 随机变量的函数的概念
\item 随机变量的函数的分布的计算
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设 $X$ 是一个随机变量， $y=g(x)$ 是一个实数到实数的函数，则 $Y=g(X)$ 也是一个随机变量。如何理解定义这个随机变量的样本空间和对应法则。

\item 设随机变量 $X$ 的分布列如下，求随机变量 $Y=X^2+X$ 的分布列：
\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{c|ccccc}
$X$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
概率 & 0.2 & 0.1 & 0.1 & 0.3 & 0.3 \\
\end{tabular}
\end{table}

\item 正态分布的一些练习：
\begin{enumerate}
\item 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 求 $Y=aX+b$ 的分布。
\item 设 $X\sim N(10,2^2)$, 求 $Y=3X+5$ 的分布。
\item 设 $X\sim N(0,2^2)$, 求 $Y=-X$ 的分布。
\end{enumerate}

\item 设 $X\sim N(0,1)$, 求 $Y=X^2$ 的分布。

\item 设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(X)$ 是严格单调递增的连续函数，证明：$F(X)$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。
由此可以从服从均匀分布的随机数得到服从其它分布的随机数。

\item 设随机变量 $X$ 的密度函数如下，
\begin{eqnarray*}
p(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{2x}{\pi^2}, & 0<x<\pi, \\
0, & \textrm{ 其它 } x.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
求随机变量 $Y=\sin(X)$ 的密度函数。


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(2.6) 1, 3, 4, 5, 7, 8, 12.

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\newpage
\section{概率论第十二讲：(3.1) 多维随机变量及其分布 }
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 二维随机变量的联合分布函数，概念与性质
\item 联合概率密度与联合分布列，二维正态分布的计算
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 写出{\color{red}二维随机变量}的概念，并举出一个例子。

\item 随机向量$(X,Y)$的{\color{red}联合分布函数}是什么？

\item 从 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 如何求出 $(X,Y)$ 落在任意一个矩形区域 $a< x\le b, c< y\le d$ 的概率？
即 $\mathbb{P}(a< X\le b, c< Y\le d)=?$

\item 证明二维联合分布函数的下述性质：
\begin{itemize}
\item 单调性（什么是二元函数的单调性）
\item 有界性（以及上下左右的极限）
\item 右连续性（对每个变量而言）
\item 非负性（对任意矩形区域的四个顶点而言）
\end{itemize}

\item 什么是{\color{red}离散型}二维随机变量的{\color{red}联合分布列}？

\item 从1,2,3,4 中任取一个数记为 $X$, 再从1, 2, .., $X$ 中任取一个数，记为 $Y$. 求 $(X,Y)$ 的联合分布列，以及 $X=Y$ 的概率。

\item 什么是{\color{red}连续型}二维随机变量的联合密度函数？

\item 写出{\color{red}联合分布列}和{\color{red}联合密度函数}的性质。

\item 设{\color{red}随机向量} $(X,Y)$ 的联合密度函数为
$ p(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} 6e^{-2x-3y}, & x>0,y>0, \\ 0, & \textrm{ 其它 }. \end{array}\right. $ \\
求概率 $\mathbb{P}(X<1,Y>1)$ 和概率 $\mathbb{P}(X>Y)$.

\item 一批产品共有100件， 其中一等品60件， 二等品30件， 三等品10件。 有放回地任取 $n$ 件，
用 $(X,Y)$ 表示其中一等品和二等品的件数。 
求 $(X,Y)$ 的联合分布列。

\item 设随机变量$(X,Y)$等可能地落在下述圆内：
%\begin{eqnarray*}
$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \,|\, x^2+y^2 \le r^2 \}$.
%\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item 求联合密度函数 $p(x,y)$.
\item 求概率 $\mathbb{P}(|X|\le r/2)$.
\end{enumerate}

\item 设二维随机变量服从{\color{red}二维正态分布}
$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$. \\
求 $(X,Y)$ 落在下述区域$D$ 的概率：
\begin{eqnarray*}
D = \Big{\{}(x,y)\in\mathbb{R}^2 \,\Big{|}\, (x-\mu_1)^2/\sigma_1^2+(y-\mu_2)^2/\sigma_2^2 
    -2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)/(\sigma_1\sigma_2) \le \lambda^2 \Big{\}}.
\end{eqnarray*}


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(3.1) 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15.

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\newpage
\section{概率论第十三讲：(3.2) 边际分布与随机变量的独立性 }
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 边际分布列，边际密度函数
\item 相互独立的随机变量
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为
\begin{eqnarray*}
F(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-x-y-\lambda xy}, & x>0,y>0,\\
0,& \textrm{其它}.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
求 $X$ 与 $Y$ 各自的分布函数，此时也称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的{\color{red}边际分布函数}。

\item 设随机向量的联合分布列如下：

\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
$X\backslash Y$ & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 0.09 & 0.21 & 0.24 \\
\hline
1 & 0.07 & 0.12 & 0.27 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
求 $X$ 与 $Y$ 各自的分布列（即{\color{red}边际分布列}）。

\item 设随机向量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为
\begin{eqnarray*}
p(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & 0<x<1,|y|<x,\\
0,& \textrm{其它}.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item 求$X$与$Y$各自的密度函数({\color{red}边际密度函数})。
\item 求概率$\mathbb{P}(X<1/2)$与概率$\mathbb{P}(Y>1/2)$.
\end{enumerate}

\item 证明二维正态分布的边际分布是一维正态分布。

\item 什么时候称{\color{red}随机变量之间相互独立}？

\item 判断连续型和离散型随机变量之间相互独立的方法是什么？

\item 从区间 $(0,1)$ 中任取两个数，求下述事件的概率：
\begin{enumerate}
\item 两数之和小于1.2.
\item 两数之积小于1/4.
\end{enumerate}

\item 若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数如下，问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？
\begin{eqnarray*}
p(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
8xy, & 0\le x \le y \le 1,\\
0,& \textrm{其它}.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(3.2) 1, 4, 6, 8, 10, 12, 16.

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\newpage
\section{概率论第十四讲：(3.3) 多维随机变量的函数的分布 }
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 二维随机变量的函数的概念与例子
\item 二维随机变量的函数的分布
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 已知二维随机变量的联合分布列：
\begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
$X\backslash Y$ & $-1$ & 1 & 2 \\
\hline
$-1$ & 0.25 & 0.10 & 0.30 \\
\hline
2 & 0.15 & 0.15 & 0.05 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

求下述随机变量的分布列：
(1) $Z_1=X+Y$;
(2) $Z_2=X-Y$;
(3) $Z_3=\max\{X,Y\}$.

\item 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，都服从泊松分布，参数分别为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$. 求 $Z=X+Y$ 的分布。用实际例子说明这个结论。

\item 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，设 $X_i\sim F_i(x), i=1,2,\cdots,n$，这些是分布函数。求最大值 $Y$ 和最小值 $Z$ 的分布：
\begin{enumerate}
\item $Y=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$. 
\item $Z=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$. 
\end{enumerate}

\item 某道路原来5个路灯，后来改建成20个路灯。设每只灯泡的平均寿命是2000小时，设每只灯泡每天使用10小时。求30天内需要更换灯泡的概率。（设每只灯泡的寿命服从指数分布。）

\item 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。设其密度函数分别为$p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$. 求$Z=X+Y$的密度函数。

\item 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，设 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$,  $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$.  证明：
\begin{enumerate}
\item $X+Y \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$.
\item $aX+b \sim N(a\mu_1+b, a^2\sigma_1^2)$.
\end{enumerate}

\item 设有独立同分布的正态随机变量 $X$ 与 $Y$, 设 $U=X+Y$, $V=X-Y$. 求 $(U,V)$ 的联合密度函数，并问 $U$ 与 $V$ 是否独立。

\item 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，
密度函数分布为 $p_X(x)$ 与 $p_Y(y)$. 
设 $U=XY$, $W=X/Y$. 
求 $U$ 与 $W$ 的密度函数。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(3.3) 1, 2, 6, 8, 11, 13, 16.

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\newpage
\section{概率论第十五讲：(3.4) 多维随机变量的特征数 }
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 二维随机变量的数学期望与方差
\item 二维随机变量的协方差与相关系数
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为 $\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},\,\,\, i\in I, j\in J.$ 
设随机变量$Z=g(X,Y)$, 求 $Z$ 的数学期望。

\item 设随机向量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y),\,\,\, x\in\mathbb{R}, y\in\mathbb{R}.$ 
设随机变量$Z=g(X,Y)$, 求 $Z$ 的数学期望。

\item 证明{\color{red}数字特征}的基本性质：
\begin{enumerate}
\item 对任意 $X,Y$, 有 $\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)$.
\item 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则有 $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$.
\item 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则有 $\mathbb{V}ar(X+Y)=\mathbb{V}ar(X)+\mathbb{V}ar(Y)$.
\end{enumerate}

\item 随机变量 $X$ 与 $Y$ 的{\color{red}协方差}是怎么定义的？其含义是什么？协方差和方差是什么关系？

\item 证明下述协方差的性质：
\begin{enumerate}
\item 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\mathbb{C}ov(X,Y)=0$.
\item 对任意二维随机变量 $(X,Y)$, 有 $\mathbb{V}ar(X+Y)=\mathbb{V}ar(X)+\mathbb{V}ar(Y)+2\mathbb{C}ov(X,Y).$
\item 对任意随机变量 $X,Y,Z$, 常数 $a,b,c$, 有 $\mathbb{C}ov(aX+bY,cZ)=ac\mathbb{C}ov(X,Z)+bc\mathbb{C}ov(Y,Z).$
\end{enumerate}

\item 随机变量$X$与$Y$的{\color{red}相关系数}是什么？证明独立蕴含不相关。(以连续型随机变量为例)

\item 在长为$a$的线段上任取两点，求这两点间的平均长度。

\item 设 $X_1,X_2$ 是独立同分布的随机变量, $X_k\sim Exp(\lambda)$. 求 $Y=\max(X_1,X_2)$ 的数学期望。

%\item 设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立, $X_1\sim U(0,6)$, $X_2\sim N(1,3)$, $X_3\sim Exp(3)$. 求 $Y=X_1-2X_2+3X_3$ 的期望、方差和标准差。

%\item 设袋中有$m$个颜色各不相同的球，每次任取一球并放回，记 $X$为$n$次摸球中得到的不同颜色的数目。求 $E(X)$.

\item 设随机变量 $X\sim b(n,p)$, 求 $X$ 的数学期望和方差。

\item 设 $X\sim N(0,\sigma^2)$, 设 $Y=X^2$, 判断 $X,Y$ 是否独立，并求 $\mathbb{C}ov(X,Y)$.

%\item 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下，求 $Cov(X,Y)$.
%\begin{eqnarray*}
%p(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 3x, & 0<y <x <1,\\ 0,& \textrm{其它}. \end{array}\right.
%\end{eqnarray*}

\item 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下，求 $\mathbb{V}ar(2X-3Y+8)$.
\begin{eqnarray*}
p(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
(x+y)/3, & 0<x<1, 0<y<2,\\
0,& \textrm{其它}.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

%\item 证二维正态分布的相关系数即为参数 $\rho$.

\item 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下，求 $\mathbb{C}orr(X,Y)$.
\begin{eqnarray*}
p(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
8/3, & 0<x-y<0.5, 0<x,y<1,\\
0,& \textrm{其它}.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(3.4) 1, 4, 7, 10, 11, 14, 16, 21, 26, 28. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第十六讲：(3.5) 条件分布与条件期望}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 条件分布列与条件密度函数的计算
\item 条件期望与重期望公式的应用
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为 $\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},\,\,\, i\in I, j\in J.$ 
在 $Y=y_j$ 的条件下，$X$ 的{\color{red}条件分布列}是什么？

\item 设二维随机变量的联合分布列如下，求条件分布列。
\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
$X\backslash Y$ & 1 & 2 & 3 \\
\hline
1 & 0.1 & 0.3 & 0.2 \\
\hline
2 & 0.2 & 0.05 & 0.15 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\item 设随机变量$X$与$Y$相互独立，且 $X\sim P(\lambda_1)$, $Y\sim P(\lambda_2)$. 在已知 $X+Y=n$ 的条件下，求 $X$ 的条件分布。

\item 设在一段时间内进入某商店的顾客人数 $X$ 服从泊松分布 $P(\lambda)$, 每个顾客购买某种物品的概率为$p$, 并且各顾客是否购买该种物品相互独立。记 $Y$ 为进入商店并购买该物品的顾客人数。求 $Y$ 的分布列。

\item 设随机向量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为
$p(x,y),\,\,\, (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$ 
则在 $Y=y$ 的条件下，$X$ 的{\color{red}条件分布函数}和{\color{red}条件密度函数}分别是什么？

\item 有区域 $G=\{(x,y)|x^2+y^2\le 1\}$.
设二维随机变量$(X,Y)$ 服从区域$G$ 上的均匀分布。求给定 $Y=y$的条件下，$X$ 的条件密度函数 $p(x|y)$.

\item 设有正态分布的随机变量 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 在 $X=x$ 的条件下，$Y$ 的条件分布为 $N(x,\sigma_2^2)$. 求 $Y$ 的密度函数。

\item 
\begin{enumerate}
\item 写出{\color{red}条件期望}的含义和计算公式。$E(X|Y)$ 是一个怎样的随机变量？
\item 写出{\color{red}重期望公式}，说明如何使用该公式。
\end{enumerate}

\item 一个矿工困在有三个门的矿井里。沿第一个门走3小时可到安全区，沿第二个门走5小时又回到原处，沿第三个门走7小时也回到原处。设他总在这三个门中等可能地选一个走（无记忆），求他平均需要多少时间到达安全区。

\item 口袋里有编号为$1\sim n$的 $n$ 个球，从中任取一个球。若取到1号，则得1分并停止摸球；若取到 $i (i\ge 2)$ 号球，则得 $i$ 分，放回该球并重新摸球。求得到的总分数的平均值。

\item 设有独立同分布的随机变量 $X_1,X_2,\cdots$, 设有取正整数值的随机变量 $N$, 设 $N$, $X_1$, $X_2$, $\cdots$ 相互独立。记 $Y=X_1+\cdots+X_N$. 证明 $\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(X_k)\mathbb{E}(N)$.

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(3.5) 3, 5, 7, 10, 11, 12, 16. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第十七讲：(4.1) 随机变量序列的两种收敛}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 依概率收敛与依分布收敛的概念和例子
\item 依概率收敛蕴含依分布收敛
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 举例说明为什么要研究随机变量序列的收敛性。

\item 设 $X_1, X_2,\cdots, X_n,\cdots $ 和 $X$ 都是随机变量。称序列 $\{X_n\}$ {\color{red}依概率收敛}于 $X$, 是指什么？

\item 若两个随机变量序列 $\{X_n\}$ 和 $\{Y_n\}$ 分别依概率收敛于常数 $a$ 和 $b$. 
则随机变量序列 $\{X_n-Y_n\}$ 依概率收敛于常数 $a-b$.

\item 设有随机变量序列 $\{X_n; n\ge 1\}$, 其中第 $n$ 个随机变量的分布为 $\mathbb{P}(X_n=\frac{1}{n})=1$. 研究这个随机变量序列的收敛情况，以及其分布函数序列的收敛情况。

\item 设 $X_1, X_2,\cdots, X_n,\cdots $ 和 $X$ 都是随机变量。设分布函数分别是
$F_1(x)$, $F_2(x)$, $\cdots$, $F_n(x)$, $\cdots$ 和 $F(x)$. 
称序列 $\{X_n\}$ {\color{red}依分布收敛}于 $X$, 是指什么？

\item 若随机变量序列 $\{X_n\}$ {\color{red}依概率收敛}于随机变量 $X$, 则 $\{X_n\}$ 一定{\color{red}依分布收敛}于 $X$.

\item 设随机变量 $X$ 的分布列为 $\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{2}$, $\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{2}$.   令 $X_n=-X$. 说明 $\{X_n\}$ 依分布收敛于 $X$, 但不是依概率收敛于 $X$.  


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(4.1) 1, 3, 8, 12. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第十八讲：(4.2) 特征函数}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 特征函数的概念与性质
\item 特征函数与分布函数的联系
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设随机变量 $X$ 的密度函数是 $p(x)$. 考虑复数取值的随机变量 
\[ e^{itX}=1+itX+\frac{1}{2!}(itX)^2+\frac{1}{3!}(itX)^3+\cdots. \] 
证明 $e^{itX}$ 的数学期望正好是 $p(x)$ 的傅立叶变换 $\hat{p}(t)$，即有
\[ \mathbb{E}(e^{itX}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}p(x)dx. \]

\item 随机变量 $X$ 的{\color{red}特征函数}是什么？写出计算公式。

%\item \begin{itemize}
%\item 特征函数是 $\varphi(t)=E[e^{itX}]$,\,\, $-\infty < t < + \infty$.
%\item $\varphi(t) = 1+ it E(X) + \frac{(it)^2}{2!} E(X^2) + \frac{(it)^3}{3!}E(X^3) +\cdots $.
%\item 离散型 $\varphi(t)=\sum\limits_{i\in I} e^{itx_k} p_k$.
%\item 连续型 $\varphi(t)=\int_{x\in\mathbb{R}} e^{itx}p(x)dx$.
%\end{itemize}

\item 计算下述分布的特征函数：
(1)单点分布，(2)0-1分布，(3)泊松分布，(4)均匀分布，(5)正态分布，(6)指数分布。
 
\item 证明特征函数的性质：设 $Y=aX+b$, 则有 $\varphi_Y(t)=e^{ibt} \varphi_X(at)$.

\item 证明特征函数的性质：设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则有 $\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$.

\item 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。证明：对连续型随机变量，有下述等式：
\begin{eqnarray*}
F(x_2)-F(x_1) &=&  \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^{T} \frac{e^{-itx_1}-e^{-itx_2}}{it} \varphi(t)dt \\
p(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \varphi(t)dt
\end{eqnarray*}

\item 已知连续随机变量的特征函数为 $\varphi(t)=e^{-|t|}$. 求该随机变量的分布。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(4.2) 1, 2, 4, 6.  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第十九讲：(4.3) 大数定律}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律
\item 蒙特卡洛方法：用随机投点法和平均值方法计算定积分
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 证明{\color{red}伯努利大数定律}(LLN)：设每次试验事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=p$. 设 $S_n$ 为 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数。则对任意 $\varepsilon>0$, 有
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\to\infty}  \mathbb{P}\left[ \Big{|}\frac{S_n}{n}-p \Big{|}\ge \varepsilon  \right] =0.
\end{eqnarray*}

\item 设某硬币出现正反面的概率相等。现投掷1万次，设$\xi$ 为出现正面的频率。估计下述概率：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P} \Big{[} |\xi-0.5|\ge 0.01 \Big{]}  %\le \,\, ?\,\, %{\color{red} (0.25)}
\end{eqnarray*}

\item 什么时候称随机变量序列 $\{X_n; n=1,2,\cdots\}$ 服从大数定律？

\item 叙述并证明{\color{red}切比雪夫大数定律}：
设随机变量 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_k$, $\cdots$ 两两不相关。
设它们的数学期望 $\mu_1$, $\mu_2$, $\cdots$, $\mu_k$, $\cdots$ 都存在。 
设它们的方差有公共上界，即 $\exists c$, $\forall k$, $\mathbb{V}ar(X_k)\le c$. 

记 $Y_n=X_1+\cdots+X_n$. 则对任意 $\varepsilon>0$, 有
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\to\infty}  \mathbb{P}\left[ \Big{|} \frac{(Y_n-\mathbb{E}(Y_n)}{n}  \Big{|}\ge \varepsilon  \right] =0.
\end{eqnarray*}

\item 证明辛钦大数定律：设 $\{X_n\}$ 是一个独立同分布的随机变量序列，设 $X_k$ 的数学期望存在。则 $\{X_n\}$ 服从大数定律。


%\item 说明用{\color{red}蒙特卡洛方法}计算定积分的思路。

%\item 设 $0\le f(x)\le 1$, 其中 $0\le x\le 1$. 计算 $\int_0^1 f(x)dx$.
\item 考虑蒙特卡洛方法。分别使用随机投点法和平均值方法，计算下述定积分。这两种方法的理论依据分别是什么，结论的准确度又有什么差异？
\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^1 e^{-x^2/2}dx. \] 


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(4.3) 1, 5, 11, 17. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{概率论第二十讲：(4.4) 中心极限定理}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 林德伯格-莱维中心极限定理，棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
\item 有关试验次数、成功次数和置信概率的计算
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 设 $X_1,X_2,\cdots$ 为独立同分布的随机变量，共同分布为 $U(0,1)$. 记 $Y_n=X_1+\cdots+X_n$. 求 $n\to\infty$ 时，$Y_n$ 的密度函数的演化规律。%(这规律称为CLT)

\item 证明{\color{red}林德伯格-莱维中心极限定理} (CLT)：设 $\{X_n\}$ 是一个独立同分布的随机变量序列，且 $\mathbb{E}(X_k)=\mu$, $\mathbb{V}ar(X_k)=\sigma^2$ 存在。则下述随机变量序列 $\{Y_n^*\}$ 依分布收敛于标准正态分布。 
\[ Y_n^* = \frac{X_1+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}. \]

\item 叙述并证明棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

\item 某复杂系统由100个独立工作的部件组成，每个部件正常工作的概率是0.9. 求正常工作的部件的数目至少有85个的概率。

\item 设某药的实际治愈率为0.8.  求100个病患使用此药后至少有75个被治愈的概率。

\item 某车间有同型号机床200台独立工作，一小时内每台机床有70\%的时间在工作。每台机床工作时要消耗电能15kW. 为以95\%概率保证车间正常工作，求至少需要多少电能？

\item 为调查某节目在某市的收视率$p$，问至少需要调查多少住户，可以使调查结果 $\hat{p}$ 与真实收视率 $p$ 的差不大于5\%的概率大于等于90\%?


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(4.4) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25. 




\end{document}

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